​阿氏圆问题的通法

阿氏圆问题的通法

初中阿氏圆是个熟知的问题，这里是对先前的理解做个记录。

什么是阿氏圆？

一句话概括：如果平面上一动点P到两定点(A、B)的距离之比PA/PB为定值K(不等于1)，则P点的轨迹是圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如图。

阿氏圆

阿氏圆问题及解题策略

在初中，利用到阿氏圆的几何问题一般是这样的：

已知动点P的轨迹为圆，B、C为定点，求PC+kPB的最小值，其中系数k为不等于1的正数，也就是求带系数的线段之和的最小值，例如PC+2PB或PC+0.5PB的最小值。如下图。

阿氏圆问题

这种题的解题策略是使用构造法进行转化，利用相似三角形构造出一条线段对象，例如构造出线段PA,使得PA=kPB，且A点为定点。则PC+kPB=PC+PA=PA+PC，转化为求PA+PC的最小值。A、C为定点，显然A、P、C三点共线时PA+PC取得最小值。

PA=kPB，即PA/PB=k,这就和阿氏圆联系起来了，只不过和文章开头介绍的阿氏圆是反过来的。文章开头介绍阿氏圆时，是已知A、B两个定点和比值系数k，得出P点轨迹为圆，而这里是已知动点P的轨迹(圆)、定点B、比值k，反过来找定点A。这和逆定理、逆向思维是一个道理。

可见，解决阿氏圆问题，找定点是关键，只要找到这个定点，就很好解决了。

举例

由CD=2可知动点D的轨迹为圆，圆心为C，半径为2。阿氏圆问题要有圆，显然可识别这道题是阿氏圆问题。B为定点，需要构造出线段ED，且满足：ED=2/3BD,E为定点。

如果能构造出这样的ED，则AD+2/3DB=AD+ED。A、E为第定点，D为动点，当A、E、D三点共线时长度和最小。

这也是数学思维中合情合理的设想(猜想、想象、构想)，美好的设想要有，万一实现了呢！

要构造ED，满足ED=2/3BD,E为定点。具体如何构造ED，因为k是比例系数，比例系数要联想到相似比，进而很自然地、合情合理地联想到利用相似三角形来构造。

通法是在圆心(C)、动点(D)、2/3BD(乘以系数k的线段)涉及到的定点B所在的三角形CDB处构造共角共边的母子型相似，相似比为k(2/3)。共角为BCD，可见其顶点为圆心，它的一条边为圆心-动点，这条边也是共边，另一条边为圆心-系数k所在线段的定点(B)，要找的定点就在条边上，如果系数k大于1，就是延长线上，这个要找的定点到圆心的距离为圆心-动点线段长度的k倍(CE=kCD)。

CD/BC=2/3,在CB上取点E，令EC=2*2/3=4/3。则CD/BC=EC/CD=2/3,共角BCD,故三角形ECD和BCD相似，ED=2/3BD。AD+2/3BD=AD+DE，A、E为定点，故A、D、E点三点共线时取最小值，且最小值为AE，此时的D点就是AE和圆相交时的点。勾股定理求出AE即为最小值。

三角形ECD和BCD就是母子型相似(共角共边)，小三角形在大三角形内部，这里的共角就是角BCD，共边就是CD。C点是圆心，D点是动点。母子型相似，共边其实是切线，这里的CD就是三角形BED外接圆的切线。

母子型相似构造

母子型相似构造模型

注意变通

有时，求PC+kPB最小值，如果构造长度等于kPB的线段有困难或不适合，此时就要灵活变通，变形，PC+kPB=k(PB+1/kPC)，改用构造长度等于1/kPC的线段。